Бұрышты анықтау

∠A = 2·arcsin(2/√13) деп берілген. sin(∠A/2) = 2/√13 болса, онда cos(∠A/2) = 3/√13. Сонда sin(∠A) = 2·sin(∠A/2)·cos(∠A/2) = 2·(2/√13)·(3/√13) = 12/13. cos(∠A) = 1 - 2sin²(∠A/2) = 1 - 8/13 = 5/13. Параллелограмда ∠A + ∠B = 180°, сондықтан ∠B = 180° - ∠A.

Биссектрисалар қиылысуы — O нүктесі

B және C бұрыштарының биссектрисалары O нүктесінде қиылысады. Параллелограмда BC || AD, сондықтан ∠OBC = ∠B/2, ∠OCB = ∠C/2 = ∠B/2 (өйткені ∠B = ∠C = 180° - ∠A). Демек ∠BOC = 180° - ∠B. Ал ∠OBC = ∠OCB = ∠B/2, яғни BO үшбұрышы тең бүйірлі: OB = OC. Сонымен қатар, B және C биссектрисалары BC-ға перпендикуляр проекциялар жасайды: BC || AD болғандықтан O нүктесі BC-ның үстіндегі симметриялы нүкте емес, бірақ BOC үшбұрышы тең бүйірлі.

Координаттар орнату

A нүктесін бастау нүктесі етіп аламыз: A = (0,0). AD бойымен: D = (a, 0). AB бойымен: B = (b·cos∠A, b·sin∠A) = (b·5/13, b·12/13), мұндағы AB = b, AD = a. C = B + D = (a + 5b/13, 12b/13).

O нүктесінің координаталарын табу

∠B биссектрисасы: ∠B = 180° - ∠A. B нүктесінен биссектриса бағыты: BA бағыты (A-B) = (-5/13, -12/13), BC бағыты = (a/|BC|, 0) = (1, 0) (BC = AD = a бойымен). Биссектриса бағыты = (-5/13 + 1, -12/13 + 0) нормаланған = (8/13, -12/13) → (8, -12) → (2, -3). B нүктесінен: O = (5b/13 + 2t, 12b/13 - 3t). ∠C биссектрисасы: C = (a + 5b/13, 12b/13). CB бағыты = (-1, 0), CD бағыты: D-C = (-5b/13, -12b/13) нормаланған = (-5/13, -12/13). Биссектриса бағыты = (-1 + (-5/13), 0 + (-12/13)) = (-18/13, -12/13) → (-3, -2). C нүктесінен: O = (a + 5b/13 - 3s, 12b/13 - 2s). Теңестіру: 12b/13 - 3t = 12b/13 - 2s → 3t = 2s → s = 3t/2. 5b/13 + 2t = a + 5b/13 - 3·(3t/2) = a + 5b/13 - 9t/2. Сонда: 2t + 9t/2 = a → 13t/2 = a → t = 2a/13. O координаталары: O_x = 5b/13 + 2·(2a/13) = 5b/13 + 4a/13. O_y = 12b/13 - 3·(2a/13) = 12b/13 - 6a/13.

OA және OD арақашықтықтарын есептеу

OA² = O_x² + O_y² = (5b/13 + 4a/13)² + (12b/13 - 6a/13)² = [(5b+4a)² + (12b-6a)²]/169. (5b+4a)² = 25b²+40ab+16a². (12b-6a)² = 144b²-144ab+36a². Қосынды: 169b² - 104ab + 52a² = OA²·169. OA = 2√10 → OA² = 40. 169b² - 104ab + 52a² = 40·169 = 6760. OD² = (O_x - a)² + O_y² = (5b/13 + 4a/13 - a)² + (12b/13 - 6a/13)² = (5b/13 - 9a/13)² + (12b/13 - 6a/13)² = [(5b-9a)² + (12b-6a)²]/169. (5b-9a)² = 25b²-90ab+81a². (12b-6a)² = 144b²-144ab+36a². Қосынды: 169b²-234ab+117a². OD = 5 → OD² = 25. 169b²-234ab+117a² = 25·169 = 4225.

Теңдеулер жүйесін шешу

Жүйе: (I) 169b² - 104ab + 52a² = 6760 → 13b² - 8ab + 4a² = 520. (II) 169b² - 234ab + 117a² = 4225 → 13b² - 18ab + 9a² = 325. (I)-(II): 10ab - 5a² = 195 → 2ab - a² = 39 → a(2b-a) = 39. (II): 13b² - 18ab + 9a² = 325. a(2b-a)=39 → 2b = (39+a²)/a → b = (39+a²)/(2a). (II)-ге қоямыз: 13·((39+a²)/(2a))² - 18a·(39+a²)/(2a) + 9a² = 325. 13(39+a²)²/(4a²) - 9(39+a²) + 9a² = 325. 13(39+a²)² = 4a²[325 + 9(39+a²) - 9a²] = 4a²[325 + 351 + 9a² - 9a²] = 4a²·676 = 2704a². 13(39+a²)² = 2704a². (39+a²)² = 208a². 39+a² = ±a√208 = ±4a√13. a²∓4a√13+39 = 0 (оң мән алынады: a > 0). a² - 4a√13 + 39 = 0 немесе a² + 4a√13 + 39 = 0. Дискриминант 1: 16·13 - 156 = 208 - 156 = 52 > 0. a = (4√13 ± √52)/2 = (4√13 ± 2√13)/2 = √13·(4±2)/2. a₁ = 3√13, a₂ = √13. Дискриминант 2: 16·13 - 156 = 52 > 0. a = (-4√13 ± 2√13)/2 < 0. Қабылданбайды. Сонда a = 3√13 немесе a = √13.

b мәндерін табу

b = (39 + a²)/(2a). a = 3√13: b = (39 + 117)/(6√13) = 156/(6√13) = 26/√13 = 2√13. a = √13: b = (39 + 13)/(2√13) = 52/(2√13) = 26/√13 = 2√13. Екі жағдайда да b = 2√13.

Параллелограмм ауданын есептеу

S = AB · AD · sin∠A = b · a · sin∠A = b · a · 12/13. 1-жағдай (a = 3√13, b = 2√13): S = 2√13 · 3√13 · 12/13 = 6·13·12/13 = 72. 2-жағдай (a = √13, b = 2√13): S = 2√13 · √13 · 12/13 = 2·13·12/13 = 24. Екі шешім де O нүктесінің параллелограмм ішінде болуын тексеру қажет: O_y = (12b - 6a)/13 > 0 → 12b > 6a → 2b > a. 1-жағдай: 2·2√13 = 4√13 > 3√13 ✓. 2-жағдай: 4√13 > √13 ✓. Екі жауап та дұрыс.