Что такое логарифм — основа всего

Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число. Запись: log_a(b) = x означает, что a^x = b Пример: log_2(8) = 3, потому что 2³ = 8 Пример: log_3(9) = 2, потому что 3² = 9 Пример: log_10(100) = 2, потому что 10² = 100 ВАЖНЫЕ УСЛОВИЯ для логарифма: • Основание a > 0 и a ≠ 1 • Аргумент b > 0 (нельзя брать логарифм от нуля или отрицательного числа!)

Основные свойства логарифмов (нужно знать наизусть)

1) log_a(a) = 1 → потому что a¹ = a 2) log_a(1) = 0 → потому что a⁰ = 1 3) log_a(m·n) = log_a(m) + log_a(n) 4) log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n) 5) log_a(m^n) = n · log_a(m) 6) a^(log_a(b)) = b Примеры: • log_2(4·8) = log_2(4) + log_2(8) = 2 + 3 = 5 • log_3(27²) = 2 · log_3(27) = 2 · 3 = 6 • log_2(16/2) = log_2(16) - log_2(2) = 4 - 1 = 3

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Тип 1 (простые)

Вид: log_a(f(x)) = log_a(g(x)) Правило: если основания одинаковые → просто приравниваем аргументы! f(x) = g(x), но ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем ОДЗ! Пример: log_3(2x+1) = log_3(7) Решение: Шаг 1: 2x + 1 = 7 Шаг 2: 2x = 6 → x = 3 Шаг 3: Проверка ОДЗ: 2(3)+1 = 7 > 0 ✓ Ответ: x = 3 --- Вид: log_a(f(x)) = число Правило: переводим в степень → f(x) = a^число Пример: log_2(x) = 4 Решение: x = 2⁴ = 16 Проверка: 16 > 0 ✓ Ответ: x = 16

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Тип 2 (замена переменной)

Когда уравнение выглядит сложно, делаем замену! Пример: (log_2(x))² - 3·log_2(x) + 2 = 0 Шаг 1: Замена — пусть t = log_2(x) Тогда уравнение: t² - 3t + 2 = 0 Шаг 2: Решаем квадратное уравнение: t² - 3t + 2 = 0 (t-1)(t-2) = 0 t = 1 или t = 2 Шаг 3: Обратная замена: • log_2(x) = 1 → x = 2¹ = 2 • log_2(x) = 2 → x = 2² = 4 Шаг 4: ОДЗ: x > 0, оба значения подходят ✓ Ответ: x = 2, x = 4

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Тип 3 (разные основания)

Формула перехода к другому основанию: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a) Частный случай: log_a(b) = 1 / log_b(a) Пример: log_2(x) + log_x(2) = 2 Шаг 1: Замена t = log_2(x), тогда log_x(2) = 1/t Уравнение: t + 1/t = 2 Шаг 2: Умножаем на t: t² + 1 = 2t t² - 2t + 1 = 0 (t-1)² = 0 → t = 1 Шаг 3: log_2(x) = 1 → x = 2 Проверка ОДЗ: x > 0, x ≠ 1, значит x = 2 ✓ Ответ: x = 2

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА — главное правило

КЛЮЧЕВОЕ ПРАВИЛО — зависит от основания: ✅ Если основание a > 1: log_a(f(x)) > log_a(g(x)) → f(x) > g(x) (знак неравенства НЕ меняется) ✅ Если основание 0 < a < 1: log_a(f(x)) > log_a(g(x)) → f(x) < g(x) (знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный!) Аналогия: • Основание > 1: функция возрастает, знак сохраняется • Основание < 1: функция убывает, знак меняется Это самая частая ошибка учеников — забывают менять знак!

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА — примеры решения

Пример 1 (основание > 1): log_2(x+3) > log_2(7) Основание 2 > 1 → знак сохраняется: x + 3 > 7 x > 4 ОДЗ: x + 3 > 0 → x > -3 Пересечение: x > 4 Ответ: x ∈ (4; +∞) --- Пример 2 (основание < 1): log_(1/3)(x) > log_(1/3)(5) Основание 1/3 < 1 → знак МЕНЯЕТСЯ: x < 5 ОДЗ: x > 0 Пересечение: 0 < x < 5 Ответ: x ∈ (0; 5) --- Пример 3 (неравенство с числом): log_3(2x-1) ≥ 2 Шаг 1: 2x-1 ≥ 3² = 9 (основание 3 > 1) Шаг 2: 2x ≥ 10 → x ≥ 5 Шаг 3: ОДЗ: 2x-1 > 0 → x > 1/2 Ответ: x ∈ [5; +∞)

СИСТЕМЫ логарифмических уравнений

Система — это несколько уравнений одновременно, нужно найти x и y удовлетворяющие ВСЕМ уравнениям сразу. Пример: { log_2(x) + log_2(y) = 5 { log_2(x) - log_2(y) = 1 Шаг 1: Используем свойства логарифмов: • log_2(x·y) = 5 → x·y = 2⁵ = 32 • log_2(x/y) = 1 → x/y = 2¹ = 2 Шаг 2: Из второго уравнения: x = 2y Подставляем в первое: 2y · y = 32 2y² = 32 → y² = 16 → y = 4 (y > 0) Шаг 3: x = 2y = 2·4 = 8 Шаг 4: Проверка ОДЗ: x = 8 > 0 ✓, y = 4 > 0 ✓ Ответ: x = 8, y = 4

СИСТЕМЫ логарифмических неравенств

Система неравенств — ищем пересечение всех решений! Пример: { log_2(x) > 1 { log_3(x) < 2 Шаг 1: Решаем каждое неравенство: • log_2(x) > 1 → x > 2¹ = 2, то есть x > 2 • log_3(x) < 2 → x < 3² = 9, то есть x < 9 Шаг 2: ОДЗ: x > 0 (для обоих) Шаг 3: Пересечение всех условий: x > 2 И x < 9 Ответ: x ∈ (2; 9) НА ЧИСЛОВОЙ ОСИ: 0----2========9----→ ↑здесь ответ

ОДЗ — область допустимых значений (очень важно!)

ОДЗ нужно ВСЕГДА проверять в логарифмических задачах! Правила ОДЗ: 1) Аргумент логарифма СТРОГО больше нуля 2) Основание СТРОГО больше нуля и НЕ равно единице Пример нахождения ОДЗ: log_2(x² - 4x + 3) Условие: x² - 4x + 3 > 0 Разложим: (x-1)(x-3) > 0 Решение: x < 1 или x > 3 ОДЗ: x ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) ЧАСТАЯ ОШИБКА: найти x, не проверить ОДЗ и получить неверный ответ! АЛГОРИТМ решения любой задачи с логарифмами: 1️⃣ Найти ОДЗ 2️⃣ Решить уравнение/неравенство 3️⃣ Пересечь с ОДЗ 4️⃣ Записать ответ

Итоговая таблица — всё в одном месте

УРАВНЕНИЯ: ┌─────────────────────────────────────────┐ │ log_a(f) = log_a(g) → f = g (+ ОДЗ) │ │ log_a(f) = b → f = aᵇ (+ ОДЗ) │ │ Сложные → замена переменной │ └─────────────────────────────────────────┘ НЕРАВЕНСТВА: ┌─────────────────────────────────────────┐ │ a > 1: log_a(f) > log_a(g) → f > g │ │ 0<a<1: log_a(f) > log_a(g) → f < g │ │ Знак меняется при 0 < a < 1 !!! │ └─────────────────────────────────────────┘ СИСТЕМЫ: ┌─────────────────────────────────────────┐ │ Уравнений → решаем методом подстановки │ │ или сложения, потом ОДЗ │ │ Неравенств → пересечение всех решений │ └─────────────────────────────────────────┘ ВСЕГДА: ОДЗ (аргументы > 0)!