14. Два поезда вышли из двух городов на расстоянии 900 км друг от друга и двинулись в противоположных направлениях, встретившись посреди дороги. Первый поезд отправился на 1 час позже второго и двигался со скоростью на 5 км/ч быстрее второго поезда. Найдите скорость каждого поезда.
Решение
Пошаговое решение
Есептің шартын түсіну
Екі қала арасындағы қашықтық — 900 км. Поездар қарама-қарсы бағытта жүрді және жолдың ортасында кездесті. Демек, әр поезд 900 ÷ 2 = 450 км жүрді.
Айнымалыларды белгілеу
Екінші поездың жылдамдығы — v км/сағ деп белгілейік. Біріншінің жылдамдығы — (v + 5) км/сағ (5 км/сағ жылдамырақ). Екінші поезд t сағат жүрді. Біріншінің жолға шыққаны 1 сағатқа кеш болғандықтан, ол (t − 1) сағат жүрді.
Теңдеулер құру
Әр поезд 450 км жүргендіктен: • Екінші поезд үшін: v · t = 450 • Бірінші поезд үшін: (v + 5) · (t − 1) = 450 Екі теңдеу де 450 км-ге тең, сондықтан: v · t = (v + 5)(t − 1)
Теңдеуді ашу
v · t = (v + 5)(t − 1) v · t = vt − v + 5t − 5 0 = −v + 5t − 5 v = 5t − 5 v = 5(t − 1)
v мәнін бірінші теңдеуге қою
v · t = 450 теңдеуіне v = 5(t − 1) қоямыз: 5(t − 1) · t = 450 5t(t − 1) = 450 t(t − 1) = 90 t² − t − 90 = 0
Квадрат теңдеуді шешу
t² − t − 90 = 0 Дискриминант: D = 1 + 4 · 90 = 1 + 360 = 361 √D = 19 t = (1 + 19) / 2 = 10 немесе t = (1 − 19) / 2 = −9 (теріс мән жарамайды) Демек: t = 10 сағат
Жылдамдықтарды табу
v = 5(t − 1) = 5(10 − 1) = 5 · 9 = 45 км/сағ — екінші поездың жылдамдығы. Біріншінің жылдамдығы: v + 5 = 45 + 5 = 50 км/сағ.
Тексеру
• Екінші поезд: 45 км/сағ × 10 сағ = 450 км ✓ • Бірінші поезд: 50 км/сағ × (10 − 1) сағ = 50 × 9 = 450 км ✓ • Жалпы: 450 + 450 = 900 км ✓
Бірінші поездың жылдамдығы — 50 км/сағ, екінші поездың жылдамдығы — 45 км/сағ.